Geometria euclidea

La geometria euclidea è la geometria che si basa sui postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele, secondo il quale due rette parallele non si intersecano mai. La versione riportata è quella di Moritz Pasch, più usata in epoca recente al posto della versione originale di Euclide, riportata sotto.

Table of contents

1 I cinque postulati 2 Versione assiomatizzata e corretta 3 Teoremi principali 4 Vedi anche

I cinque postulati

Di seguito si riportano gli assiomi di Euclide:

1. Tra due segni (punti) qualsiasi è possibile tirare una retta
2. Si può prolungare una retta oltre i due segni indefinitamente
3. Dato un segno e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio
4. Tutti gli angoli retti sono uguali
5. Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

È soprattutto sulla violazione di quest'ultimo postulato che si fondano le geometrie non-euclidee come ad esempio la geometria della superficie di una sfera, o geometria riemanniana.

Versione assiomatizzata e corretta

Nel 1899 David Hilbert propone un sistema assiomatico corretto per la geometria. Perchè se ne sentiva la necessità? Anzitutto, si cercava di dimostrare per assurdo la correttezza del quinto postulato, e poi perchè nella versione originale sono impliciti alcuni altri assunti, ad esempio nel primo assioma è implicito che la retta esista e sia una sola, e che esistano due punti distinti, nella seconda che una retta possegga più di un punto, nel terzo che nel piano ci siano almeno tre punti non allineati, che si possa riportare un segmento di retta per traslazione senza deformarlo, e via di questo passo.

Venne così pubblicato Grundlagen der Geometrie, in cui veniva fornito un sistema assiomatico completo, fondato su 21 assiomi, per la geometria euclidea. Fatto questo, subito venne dimostrato da Henri Poincaré che la geometria iperbolica sviluppata da Giovanni Girolamo Saccheri e da Enrico Beltrami poteva essere messa in corrispondenza biunivoca con la geometria euclidea: l'eventuale autocontraddizione dell'una avrebbe causato la rovina anche dell'altra.

Teoremi principali

• Criteri di congruenza dei triangoli
• Teorema di Pappo
• Teorema di Pasch
• Teorema di Pitagora

Vedi anche

• Geometria algebrica
• Spaziotempo
• Topologia

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